铅垂法三角形面积公式SABC=2ab。
铅锤定理一个三角形从一条边上的两个顶点做垂线且互相垂直，该三角形面积等于两垂线乘积的一半。其实铅锤定理的原理是割法，相当于把ABC分割成ABD和ACD，两个三角形的底都是h，高分别是a1a2而a1+a2=a。
基本信息
当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。
注意到垂线的定义中只是规定了两直线交角的大小90°并没有规定两条直线的位置如何也就是说不论一条直线的位置如何只要另一条与它的交角是90°其中任何一条直线就是另一条直线的垂线。
事实上老师在讲垂线的概念时，总喜欢用铅垂线引入说瓦工师傅砌墙时为了使墙砌得与地面垂直先吊一根铅垂线即用一根细线吊一个重锤，重锤由于地球引力，呈与地面水平线垂直的状态下垂。这时铅垂线与水平线互相垂直。
是唐代孔颖达的《左传正义》对“立德”的解释。要为社会创建做人的准则或者为国家创建律法，实施的目的是为了大众（老百姓），在实施的过程中也要你与大众融合在一起，团结一心。像上代的圣德（伏羲、女娲、神农、黄帝、尧、舜、禹，乃至周文王、孔子），他们所创立的“德”，所创立的“法”，给大众（老百姓）带来的恩惠，是非常大的。
春秋时期，天子衰，诸侯兴：周王室势力衰微，权威不再，已经无法有效控制天下诸侯。一些强大的诸侯国为了争夺天下，开启了激烈的争霸战争，相互之间合纵连横、东征西讨，前后共有数位诸侯依次成为霸。?春秋五霸?是春秋时期特定阶段的历史产物，此时的诸侯争霸战争，为之后的战国时期的兼并统一战争做了先期准备。
霸（与现代汉语的意思不同），政之名，即伯，音转为霸，又称州伯、方伯，即诸侯之长，其职名为会诸侯、朝天子，实为挟天子以令诸侯。
春秋五霸分别是：
1、齐桓公：
尊王攘夷：公元前685－前643年在位。齐桓公召集诸侯国在葵丘会盟，?九合诸侯，一匡天下?。周王室也派人参加，正式承认了齐桓公的霸主地位，成为春秋时期第一个霸主。
2、宋襄公：
春秋大义：公元前650年至637年在位。齐桓公死后，齐国发生内乱，宋襄公率领卫国、曹国和邾国等四国人马打到齐国，齐人里应外合，拥立齐孝公，宋襄公因此声名鹊起。
3、晋文公：
制霸中原：公元前636年－前628年在位。晋文公请来周襄王，并召集齐、宋等国在践土和诸侯会盟。史称：?践土会盟?。周天子策封晋文公为?侯伯?（诸侯之长），并赏赐他黑红两色弓箭，表示允许他有权自由征伐。晋文公正式成为霸主，开创了晋国长达百年的霸业。
4、秦穆公：
秦穆公（？?前621年），嬴姓，名任好。又作秦缪公。秦德公少子，秦宣公、秦成公之弟，春秋时期秦国国君（前659年－前621年在位），谥号穆，《史记索隐》等书认定的春秋五霸之一。
称霸西戎：生卒于公元前682年?前621年。秦穆公达成秦晋联盟后，逐渐灭掉西方戎人所建立的国家12个。秦穆公对戎人的胜利，周王特加祝贺，并赐金鼓，希望他擂鼓继续向戎人进攻；周襄王时出兵攻打函谷关以西的国家，开辟国土千余里，因而周襄王任命他为西方诸侯之伯，遂称霸西戎，为日后秦统一中国奠定了基石。
5、楚庄王：
问鼎中原：公元前613?公元前591年在位。公元前598年，楚庄王率军在邲（今河南郑州）与晋军大战，打败晋军。中原各国背晋向楚，楚庄王开始成为中原霸主。
春秋五霸当中不仅有秦穆公，而且秦穆公对历史的贡献还非常大，他的主要功绩如下：
政治上：
秦穆公广纳贤士，大胆任用非本国的人才，开秦国任用客卿制度之先河。在他的感召下，号称?五羖大夫?的百里奚、相马专家伯乐及九方皋纷纷投其门下。由于他始终***取?得其精而忘其粗，在其内而忘其外?的相马之法，因而，取得了巨大的成功。他不愿意重用本国的贵族，他怕贵族极大势大，国君反倒受了他们的牵制。他宁可重用外来的客卿，外地来的***力尽管多么大，也只限于他一个人，不可能象豪门大族那样割据地盘，建立自己的势力，威胁国君。史载他执政期间，?益国十二，开地千里?，整个广阔的西部地区为他所独控。
军事上：
秦穆公治军有方，秦人自古就有养马的传统，可以说是个马背上的民族。秦穆公当政后，发挥这一优势，建立骑兵部队并为每一位士兵配备一把匕首。这比赵武灵王赵雍胡服骑射的改制要早得多。 成语?短兵相接?亦因之而来。
与晋相争
秦穆公三十二年（公元前628年）冬，晋文公死。这时，杞子从郑国派人送信给秦国说：?郑国人将北门的钥匙交给了我，如果悄悄地派军队来，郑国就能得到。?秦穆公赵任好问计于蹇叔和百里奚，两人均劝他不要***取这次军事行动，秦穆公不听，而是派遣百里奚的儿子孟明视、蹇叔的儿子西乞术和白乞丙三将带兵出发。秦国去远征郑国无功而返，于是在往回撤兵的半路上灭了滑国。滑国是晋国的同姓之国。当时，晋文公还没有下葬。太子襄公愤怒地说：?秦国欺侮我丧父，乘机攻灭我的同姓之国。?於是，将丧服染成黑色，出兵在崤山阻击，大败秦军，将三位秦将全部俘获。晋文公的夫人文嬴用计说服晋襄公放了秦国的三位将领，孟明视、西乞术和白乞丙回到秦国后，秦穆公并没有处罚他们，反而恢复了三人的官职，对他们更加信任了。三十四年（前626年），秦穆公赵又派孟明视等带兵东向，与晋军战於彭衙（今陕西白水东北），秦军再次失败。
称霸西戎
秦穆公元年（公元前659年），就亲自带兵讨伐茅津（今山西芮城东）的戎人，开始了扩张疆土的事业。秦穆公赵任好三十二年（公元前624年），秦穆公赵任好亲自率兵讨伐晋国，渡过黄河以后，将渡船全部焚毁，表示誓死克敌的决心。秦军夺得王官（今山西闻喜西）和郊。晋军拒不出战，秦军从茅津渡过黄河，到南岸崤地，在当年的战场为战死的将士堆土树立标记，然后回国。转而向西方发展。
秦穆公企图向东争霸中原，但由于向东的通路为晋所阻，扶立了晋国三代君主的秦穆公，眼睁睁看着晋文公当了霸主，实在是心中不忿，他不顾老臣百里奚、蹇叔的冒死劝谏，趁晋文公刚死之机，三次挥师东进，却只收获了累累白骨和血的教训。在执政的最后几年，秦穆公嬴任好终于改变了东进战略，转而向西，兼并西戎二十国，开疆拓土，为四百年后秦统一中国奠定了基石，秦国在函谷关以西一带称霸，史称?称霸西戎?。?兼国十二，开地千里?。
秦穆公三十六年（公元前624年），秦军夺得王官（今山西闻喜西）和郊。秦穆公三十七年（公元前623年），秦军出征西戎，以迅雷不及掩耳之势，包围了绵诸，在酒樽之下活捉了绵诸王。秦穆公乘胜前进，二十多个戎狄小国先后归服了秦国。秦国辟地千里，国界南至秦岭，西达狄道（今甘肃临洮），北至朐衍戎（今宁夏盐池），东到黄河，史称?穆公赵霸西戎?。周襄王派遣召公过带了金鼓送给秦穆公，以表示祝贺。
外交上：
秦穆公九年（公元前651年）晋献公死，骊姬子奚齐继位，旋即被其臣里克杀死。秦穆公派百里奚带兵送夷吾回国继位，是为晋惠公。夷吾事先答应将河西八城割给秦作为谢礼，但继位后却毁约。晋臣丕豹逃到秦国，受到秦穆公重用。秦穆公十二年（公元前648年）晋国旱灾，秦穆公运了大量粟米给晋。
秦穆公十四年（公元前646年），秦国发生饥荒，晋国不仅不给秦国粮食救灾，反而乘机出兵，於次年攻秦。双方在韩原大战，秦军最终生俘晋惠公。在周襄王和穆姬的请求下，秦穆公赵任好与晋惠公结盟后，将其放回。晋惠公送太子圉到秦国为质子，并将黄河以西的地方献给秦国，秦的东部疆界扩至龙门。
秦穆公二十三年（公元前637年），晋惠公死，公子圉逃回国继位，是为晋怀公，继续迫害逃亡的公子重耳。秦穆公于是将重耳从楚国迎来，以极为隆重的礼节接待，将女儿文嬴及四位宗女嫁其为妻，然后于次年送重耳回国为君，是为晋文公。晋文公杀死子圉，在秦国的参与下，尊王攘夷，败楚城濮，成为霸主。
秦穆公三十年（公元前630年），秦又出兵帮助晋文公围郑。郑老臣烛之武夜里从围城中用绳子吊着逃出，见秦穆公说：?郑国灭亡，于秦不利。晋国的力量增强，相当于秦国的势力减弱，况且晋人这次开拓了东边的领土，下次就会向西边的秦国用兵。大君何必损害自己国家的利益，帮助晋国呢？?秦穆公于是与郑结盟，留杞子、逢孙、杨孙戍守，罢兵而还。
历史上很多名人都对穆公给予了很高的评价：
当时君子：?秦穆公广地益国，东服强晋，西霸戎夷，然不为诸侯盟主，亦宜哉。死而弃民，收其良臣而从死。且先王崩，尚犹遗德垂法，况夺之善人良臣百姓所哀者乎？是以知秦不能复东征也。?
孔子：?其国虽小，其志大；处虽僻，而其政中。其举也果，其谋也和，法无私而令不愉，首拔五羖，爵之大夫，与语三日而授之以政。此取之，虽王可，其霸少矣。?
秦孝公嬴渠梁：?昔我穆公自岐雍之间，修德行武。东平晋乱，以河为界。西霸戎翟，广地千里。天子致伯，诸侯毕贺，为后世开业，甚光美。?
司马迁《史记》：1. ?秦起襄公，章于文、缪，献、孝之后，稍以蚕食六国，百有馀载，至始皇（嬴政）乃能并冠带之伦。? 2. ?穆公思义，悼豪之旅；以人为殉，诗歌黄鸟。? 3. ?齐桓越燕伐山戎，赵武灵王以区区赵服单于，秦穆公用百里霸西戎，吴楚之君以诸侯役百越。?
《左传》鲁文公六年载，?穆公任好卒，以子车氏之三子奄息、仲行、针虎为殉，皆秦之良也。国人哀之，为之赋《黄鸟》。?
左丘明《左传》：?君子是以知秦穆公之为君也，举人之周也，与人之一也。?
贾谊《过秦论》：?自穆公以来，至于秦王二十余君，常为诸侯雄。?
朱熹：?史记武公卒，初以人从死，死者六十六人。至穆公遂用百七十七人，而三良与焉。盖其初特出于戎翟之俗，而无明王贤伯以讨其罪。于是习以为常，则虽以穆公之贤而不免。?
由余入秦毁诗书，意在兵强黔首愚。
弊极煨烬几无馀，高齐风俗元自殊。
岂料乃喜知卷舒，况复是正丛冠裾。
公言所贬固不虚，我独谓其胜由余。 “戎王使由余於秦。由余，其先晋人也，亡入戎，能晋言。闻缪公贤，故使由余观秦。秦缪公示以宫室、积聚。由余曰：“使鬼为之，则劳神矣。使人为之，亦苦民矣。”缪公怪之，问曰：“中国以诗书礼乐法度为政，然尚时乱，今戎夷无此，何以为治，不亦难乎？”由余笑曰：“此乃中国所以乱也。夫自上圣黄帝作为礼乐法度，身以先之，仅以小治。及其後世，日以骄*。阻法度之威，以责督於下，下罢极则以仁义怨望於上，上下交争怨而相篡弑，至於灭宗，皆以此类也。夫戎夷不然。上含淳德以遇其下，下怀忠信以事其上，一国之政犹一身之治，不知所以治，此真圣人之治也。”於是缪公退而问内史廖曰：“孤闻邻国有圣人，敌国之忧也。今由余贤，寡人之害，将奈之何？”内史廖曰：“戎王处辟匿，未闻中国之声。君试遗其女乐，以夺其志；为由余请，以疏其间；留而莫遣，以失其期。戎王怪之，必疑由余。君臣有间，乃可虏也。且戎王好乐，必怠於政。”缪公曰：“善。”因与由余曲席而坐，传器而食，问其地形与其兵势尽虓，而後令内史廖以女乐***遗戎王。戎王受而说之，终年不还。於是秦乃归由余。由余数谏不听，缪公又数使人间要由余，由余遂去降秦。缪公以客礼礼之，问伐戎之形。”
三十七年，秦用由余谋伐戎王，益国十二，开地千里，遂霸西戎。天子使召公过贺缪公以金鼓。三十九年，缪公卒，葬雍。从死者百七十七人，秦之良臣子舆氏三人名曰奄息、仲行、针虎，亦在从死之中。秦人哀之，为作歌黄鸟之诗。君子曰：「秦缪公广地益国，东服强晋，西霸戎夷，然不为诸侯盟主，亦宜哉。死而弃民，收其良臣而从死。且先王崩，尚犹遗德垂法，况夺之善人良臣百姓所哀者乎？是以知秦不能复东征也。」缪公子四十人，其太子嵤代立，是为康公。 大夫曰：「橘柚生于江南，而民皆甘之于口，味同也；好音生于郑、卫，而人皆乐之于耳，声同也。越人子臧、戎人由余，待译而后通，而并显齐、秦，人之心于善恶同也。故曾子倚山而吟，山鸟下翔；师旷鼓琴，百兽率舞。未有善而不合，诚而不应者也。意未诚与？何故言而不见从，行而不合也？」
文学曰:「扁鹊不能治不受针药之疾,贤圣不能正不食谏诤之君。故桀有关龙逄而夏亡,纣有三仁而商灭,故不患无由余、子臧之论,患无穆、威之听耳。是以孔子东西无所遇,屈原放逐于楚国也。故曰:『直道而事人,焉往而不三黜?枉道而事人,何必去父母之邦。』此所以言而不见从,行而不得合者也。」 安处先生于是似不能言，怃然有间，乃莞尔而笑曰：“若客所谓，末学肤受，贵耳而贱目者也！苟有胸而无心，不能节之以礼，宜其陋今而荣古矣！由余以西戎孤臣，而悝缪公于宫室，如之何其以温故知新，研覈是非，近于此惑？”
“周姬之末，不能厥政，政用多僻。始于宫邻，卒于金虎。嬴氏搏翼，择肉西邑。是时也，七雄并争，竞相高以奢丽。楚筑章华于前，赵建丛台于后。秦政利觜长距，终得擅场，思专其侈，以莫己若。乃构阿房，起甘泉，结云阁，冠南山。征税尽，人力殚。然后收以太半之赋，威以参夷之刑。其遇民也，若薙氏之芟草，既蕴崇之，又行火焉！惵惵黔首，岂徒跼高天，蹐厚地而已哉？乃救死于其颈！敺以就役，唯力是视，百姓弗能忍，是用息肩于大汉而欣戴高祖。” 奕奕轻车至，清晨朝未央。未央在霄极，中路视咸阳。
委曲汉京近，周回秦塞长。日华动泾渭，天翠合岐梁。
五丈旌旗色，百层枌橑光。东连归马地，南指斗鸡场。
晴壑照金戺，秋云含璧珰。由余窥霸国，萧相奉兴王。
功役隐不见，颂声存复扬。权宜珍构绝，圣作宝图昌。
在德期巢燧，居安法禹汤。冢卿才顺美，多士赋成章。
价重三台俊，名超百郡良。焉知掖垣下，陈力自迷方。 仕为公车司马令，以父母老，托疾去官。欲归乡里，会荆州道断，不得去。少府孔融上书荐之曰：「臣闻高祖创业，韩、彭之将征讨，陵贾、叔孙通进说诗书。光武中兴，吴、耿佐命，范升、卫宏修述旧业，故能文武并用，成长久之计。陛下圣德钦明，同符二祖，劳谦厄运，三年乃讙。今尚父鹰扬，方叔翰飞，王师电鸷，群凶破殄，始有櫜弓卧鼓之次，宜得名儒，典综礼纪。窃见故公车司马令谢该，体曾、史之淑性，兼商、偃之文学，博通群蓺，周览古今，物来有应，事至不惑，清白异行，敦悦道训。求之远近，少有畴匹。若乃巨骨出吴，隼集陈庭，黄能入寝，亥有二首，非夫洽闻者，莫识其端也。隽不疑定北阙之前，夏侯胜辩常阴之验，然后朝士益重儒术。今该实卓然比迹前列，闲以父母老疾，弃官欲归，道路险塞，无由自致。猥使良才抱朴而逃，逾越山河，沉沦荆楚，所谓往而不反者也。后日当更馈乐以钓由余，克像以求傅说，岂不烦哉？臣愚以为可推录所在，召该令还。楚人止孙卿之去国，汉朝追匡衡于平原，尊儒贵学，惜失贤也。」书奏，诏即征还，拜议郎。以寿终。
诚宜开张圣听，以光先帝遗德翻译如下：
“以”翻译为“用来”。本句为“诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢***士之气”，意思是：陛下应该广泛听取群臣的意见，用来发扬光大先帝留下的美德，弘扬志士们的气概。
诚宜开张圣听，以光先帝遗德是《出师表》中句子，又称《前出师表》，是三国时期蜀国政治家、军事家诸葛亮的奏表，作于蜀汉建兴五年（227年），篇名为后人所加，初见于《三国志·蜀志·诸葛亮传》，收入《昭明文选》。
该文是诸葛亮出兵攻打魏国前写给后主刘禅的一篇意见书，文中分析了蜀国当时的内外形势，劝诫刘禅要继承刘备的遗志，秉公处事，重用贤良之臣。名句“鞠躬尽瘁，死而后已”等广为流传。
赏析：
《出师表》以恳切的言辞，针对当时的局势，反复劝勉刘禅要继承先主刘备的遗志，开张圣听，赏罚严明，亲贤远佞，以完成“兴复汉室”的大业，表现了诸葛亮“北定中原”的坚强意志和对蜀汉忠贞不二的品格。
上半部分，分析当时不容懈怠的政治形势，阐述开张圣听、内外同法、亲信贤良的必要性和迫切性，希望后主励精图治，迅速改变龟缩于西南一隅的被动局面；下半部分，回顾自己的一生经历，缅怀先帝“三顾茅庐”的知遇之恩，表明此次北伐务求成功的雄心壮志。
铅垂法的基本含义：用铅锤找重力方向线的方法。
铅锤也叫线坠，就是上面一根很轻的线，下面挂一根较重的的铅块，铅块成倒圆锥体，利用重力作用，铅垂悬挂后，铅垂竖直向下指向地心，旁边的物体通过与铅垂线比较后，确定其是否竖直，多用于建筑测量。
意义
铅垂线的变化，是天文学和大地测量学中一个尚未解决的问题 。地面光学天文观测是以仪器所在地的铅垂线作为测量的参考的，如果铅垂线存在尚未改正的变化，那么这种变化对以往所有测量结果的影响都有待于进一步的修正。
春秋诸侯如何进阶为霸主
齐桓公是春秋历史上第一个霸主，想要成为霸主，必须满足两个条件：
①拥有一支强大的军队，这是前提，也是基础；②其次要打出合法化的旗帜（譬如刘备打的是“恢复汉室”的旗号，齐桓公打的是“尊王攘夷”）；
齐桓公即位的时候齐国并不算强大，但任用管仲改革以后，齐国的综合实力蹭蹭蹭的往长涨。有了争霸的资本，齐桓公就开始施展齐国的影响力，对周边小国的内政进行干预，譬如当初齐桓公因为齐国政治动荡逃亡国外的时候，谭国没有礼遇齐桓公，齐桓公即位以后，谭国也不来祝贺。
于是谭国成为齐桓公拿来树立威权的第一个受害者，齐桓公二年（前684年），谭国被齐桓公灭亡。齐桓公五年（前681年）的时候，宋国内部发生政治动荡，齐桓公立刻见缝插针的干涉宋国内政，迫于齐国的军事力量，宋国第十九代君主宋桓公只好结束宋国内部的政治动荡，并和齐国讲和。
春秋首霸——齐桓公
经过这件事，齐国的影响力进一步得到提升，当时齐桓公曾邀请遂国一起参与会议，但被对方拒绝，事后齐桓公回身就把遂国给灭了。不过倘若只是凭借强大的军事力量作为支撑，齐桓公恐怕只会被视为是一个蛮横霸道的诸侯，齐桓公当然不会犯这种低级错误。
作为霸主，对不听话的诸侯当然要给巴掌吃，但是对于听话的诸侯则要给糖果了。毕竟要想成为诸侯老大，秩序的守护者，光靠武器可不行，还要给那些小诸侯们伸张正义，而且自己也要树立一个正派的世界正义守护者的形象。
譬如齐桓公五年（前681年）齐国和鲁国打了一仗，鲁国不敌，被迫割地。在会议上鲁国臣子曹沫拔剑劫持了齐桓公，要求他归还鲁国土地。齐桓公被迫答应，事后他想反悔，但是管仲劝说他出尔反尔容易失信，齐桓公只好维护承诺，将土地还给鲁国，虽然失去了土地，但齐桓公却在诸侯之间赢得了名声，纷纷都想依附于齐国。
诸侯闻之，皆信齐而欲附焉——《史记·齐太公世家》
燕庄公送别齐桓公
倘若这是被迫的，那么在齐桓公二十三年（前663年）的时候，齐桓公就做了一件很符合老大哥形象的事情，那就是山戎攻打燕国的时候，齐桓公出兵解救燕国。更催人泪下的是，燕国国君燕庄公护送齐桓公回国，一直送到齐国的国境里，齐桓公怪不好意思的，就说：
非天子，诸侯相送不出境，吾不可以无礼於燕，於是分沟割燕君所至与燕，命燕君复修召公之政，纳贡于周，如成康之时。诸侯闻之，皆从齐——《史记·齐太公世家》
于是就把燕庄公经过的地方全部割让给了燕国，这件事情一传出去，齐桓公的名声那顿时是变得高大无比。这就提到成为霸主需要的第二个条件了，即合法化的政治旗帜，齐桓公那时候打的是什么旗帜呢？就是“尊王攘夷”，意思就是尊勤君王（周天子），攘斥外夷。
这面旗帜有什么用呢？就是向外界表明齐桓公这么做绝不是为了要取代周天子，而是为了维护周天子的地位和天下秩序，毕竟那时候周王室已经开始走下坡路，影响力大打折扣了。另一方面来说，齐桓公又确实是这么做的，虽然成为了霸主，但是他始终没有表现出不轨之心。
尊王攘夷，齐桓公的政治口号
So，《春秋公羊传》中对他的评价就很高了，叫做：南夷北狄交，中国不绝如线，桓公攘夷狄而救中国。
然而春秋五霸第三代霸主秦穆公虽然被推崇为霸主，但实际上他没有得到诸侯的承认，尽管秦穆公让秦国拥有了称霸的军事力量，但是秦穆公“有力而无德”，他死后还让秦国贤臣殉葬。
所以人家评价他说：
秦缪公广地益国，东服强晋，西霸戎夷，然不为诸侯盟主，亦宜哉。死而弃民，收其良臣而从死。且先王崩，尚犹遗德垂法，况夺之善人良臣百姓所哀者乎？是以知秦不能复东征也——《史记·秦本纪》
被挡在西面的秦国
另一方面，由于秦国一直被晋国挡在了西面，无法召开诸侯大会，这也是秦国无法成为世所公认的诸侯盟主的原因。再加上秦国素来在中原诸侯之中没有好感，也没有像齐桓公一样打出“尊杨攘夷”的旗帜，这也就无法得到诸侯们的认同。
综上所述，想要进阶为一个霸主，光有军事力量并不行，还要有正面的政治影响力。
答：铅垂法其实就是在割补两种方法，重点不在三个点位置，而是取两个点作水平宽之后，能求出其对应的铅垂高。
求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式。
